Calcul de dérivée avec la fonction inverse - Exemple 2

On souhaite déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur  `[0;+\infty[` par

`g(x)=\frac{4}{\sqrt(x)+5x+1}` .

La fonction  `g`  est du type  `1/u` avec :  `u(x)=\sqrt(x)+5x+1` . 

Or  `u`  est dérivable et non nulle sur  `]0;+\infty[` . En effet, `u` est une somme de fonctions dérivables et positives sur   `]0;+\infty[` . Pour tout  `x` dans  `\mathbbR` , on a `u'(x)=1/(2\sqrt(x))+5` . 

On conclut que  `g`  est dérivable sur  `]0;+\infty[`  et, pour tout  `x\in ​]0;+\infty[ ​` , on a : 

`g'(x)=\frac{-(1/(2\sqrt(x))+5)}{(\sqrt(x)+5x+1)^2}=\frac{-(1+10\sqrt(x))}{2\sqrt(x)(\sqrt(x)+5x+1)^2}` .